sábado, 9 de abril de 2011

Ponto material


Em Mecânica, ponto material é uma abstração feita para representar qualquer objeto que em virtude do fenômeno tem dimensões desprezíveis, ou seja, dimensões tais que não afetam o estudo do fenômeno. Por exemplo, no estudo dos movimentos dos planetas, dada a distância que separa esses corpos suas dimensões são desprezíveis e eles podem ser considerados pontos materiais.
Serve para definir também um objecto que tenha uma infinidade de pontos que se comportem do mesmo modo: assim um ponto material é nada mais do que a representação de todos os pontos deste objecto. Por exemplo, um bloco deslizando com velocidadeuniforme sobre um plano pode ser considerado um ponto material, uma vez que todos os seus pontos deslizam em conjunto. De maneira geral corpos que sofrem apenas translação podem ser reduzidos a pontos materiais.
Quando o fênomeno estudado não puder prescindir das dimensões do objecto, este será encarado como um corpo extenso. Corpos que sofrem rotação e possuem momento linear são exemplos de corpos extensos.

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Momento angular


Momento angular (também chamado de momentum angular ou quantidade de movimento angular) de um corpo é a grandeza física associada à rotação e translação desse corpo. No caso específico de um corpo rodando em torno de um eixo, acaba por relacionar sua distribuição da massa com sua velocidade angular.
Deve-se dizer que, com o advento da mecânica quântica (MQ), o status da grandeza físicaquantidade de movimento angular sofreu uma severa modificação. A grandeza não pode, no contexto da MQ, ser definida em termos de duas grandezas que são relacionadas peloprincípio da incerteza como o raio vetor e a velocidade angular. Tais grandezas são complementares e não podem ser, simultanea e de forma totalmente precisa, determinadas. A pares de grandezas assim relacionadas dá-se o nome de grandezas complementares (apud Bohr).
Assim sendo, a quantidade de movimento angular passou a ser entendida como a grandeza conservada sob rotações no espaço tridimensional, em decorrência da isotropiado mesmo. A dedução de todas as grandezas que decorrem de simetrias geométricas (quantidade de movimento linear, energia e quantidade de movimento angular) do espaço-tempo (no contexto mais geral da teoria da relatividade) é feita através do formalismo dos geradores dos movimentos.

Momento angular de uma partícula

O momento angular de uma partícula é definido pelo produto vetorial do vetor-posição \vec r da partícula (em relação a um ponto de referência) pelo seu momento linear \vec p.
\vec L = \vec r \times \vec p = \vec r \times m\vec v
O momento angular depende do ponto de referência escolhido. Se a referência for o ponto ocupado pela partícula (e a função que define o momento for contínua) então o momento angular é nulo. Há também outras condições para que o momento angular se anule. São elas:
  1. a massa da partícula seja nula.
  2. a velocidade da partícula seja nula.
  3. a velocidade da partícula seja paralela à sua posição em relação ao ponto de referência.
Da definição, tem-se que sua magnitude é:
L = rp \mathrm{sen} \theta = mrv \mathrm{sen} \theta = mr^2 \frac{d\theta}{dt} \mathrm{sen} \theta = mr^2 \omega \mathrm{sen} \theta
onde r é o módulo do vetor-posição, p é o módulo do momento linear, v é o módulo da velocidade e θ é o ângulo entre esses dois vetores.

[editar]Momento angular de um sistema de partículas

O momento angular de um conjunto de partículas em relação a um ponto de referência é definido como a soma do momento angular de todas as partículas em relação a esse ponto. Assim:
\vec L = \sum_{i=1}^{N} \vec l_i
Onde \vec l_i é o momento angular da partícula i, e N é o número total de partículas.
Quando estamos tratando do momento angular total de qualquer corpo, a definição acima se transforma no limite da soma, com N tendendo a infinito:
\vec L = \lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^{N} \vec l_i
Onde, para que o limite exista, cada \vec l_i  deve tender a 0. Isso é intuitivo já que estamos considerando pedaços de matéria cada vez menores, o que implica massas e momentos angulares menores. Ou seja, o momento angular de um corpo E, é definido por:
\vec L = \int_E d\vec L

[editar]Simplificações

O momento angular de um corpo girando em torno de um eixo fixo, em relação a esse eixo, pode ser calculado através do seumomento de inércia J e sua velocidade angular ω, da forma a seguir:
L = Jω

[editar]Usos

O momento angular é excepcionalmente útil na resolução de sistemas rotacionais, sejam eles formados por corpos rígidos ou por sistemas de partículas. Na verdade ele é útil em todos os casos em que é constante no intevalo estudado, pois pode-se demonstrar que o torque resultante sobre um sistema é igual à taxa de variação temporal, a derivada no tempo, do momentum angular. Conclui-se que sempre que o torque total for zero o momento angular manter-se-á constante. Essa situação é mais comum do que parece, pois usualmente, nos sistemas isolados, as forças que agem internamente entre os corpos geram torques que se anulam, pois tais forças são usualmente centrais (sua linha de ação passa pelo centro geométrico do corpo) o que faz com que os pares ação-reação anulem os torques.
Esse "ataque" é tão importante que com ele é possível demonstrar as leis de Kepler, se usado em conjunto com a Lei da gravitação universal. Essa demonstração foi feita pelo próprio Newton, facto que deu uma importância ainda maior à hipótese de Newton da força gravitacional ser proporcional ao inverso do quadrado da distância.

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Movimento periódico

Movimento periódico é todo aquele que se repete identicamente em intervalos de tempo iguais. O intervalo de tempo correspondente a um movimento completo é o período do movimento e o número de movimentos completos realizados em um unidade de tempo é a freqüência. O movimento circular e uniforme (MCU) é um movimento periódico, o mesmo vale para o movimento pendular. Por sinal, o movimento do pêndulo pode ser aproveitado para fornecer a cadência certa para um relógio. E os ponteiros de um relógio também realizam um movimento periódico. O ponteiro dos minutos por exemplo tem período de 1 hora, ou 60 minutos ou 3.600 segundos. A freqüência desse ponteiro pode ser 24 rotações por dia. Já o ponteiro das horas tem frequência de 2 rotações por dia (00:00 as 11:59 = Uma volta; 12:00 as 23:59 = uma volta). O movimento de rotação da Terra ao redor de seu próprio eixo é um movimento periódico com período de 0,99727 dia ou 23,9345 horas.
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Movimento parabólico

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Movimento parabólico


Movimento parabólico

O movimento parabólico é caracterizado por dois movimentos simultâneos em direções perpendiculares, mais especificamente um deles um Movimento Retilíneo Uniforme e outro um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado. Dadas essas circunstâncias o móvel se desloca segundo uma parábola. Tais circunstâncias podem ser observadas num simples lançamento oblíquo, onde, desprezando o atrito do ar e demais efeitos o objeto se desloca verticalmente acelerado pela ação da gravidade local, e, horizontalmente se desloca seguindo velocidade constante.

Demonstração

Através de ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral é possível descrever com exatidão as situações em que a trajetória um dado projétil é parabólico. Inicialmente, é razoável considerar que um corpo quando arremessado tem sua trajetória descrita num plano. Consideraremos então que o projétil se desloca no plano cartesiano x0y. Assim, sabendo a velocidade e a posição (aqui especificamente expressadas na base canônica) no instante inicial t = 0:
\vec{v_0} = v_{0x}\vec i+v_{0y}\vec j\,
\vec{r_0}=x_0\vec i+y_0\vec j
Considerando que o corpo não sofre nenhum tipo de influência externa, com exceção da gravidade local, é possível concluir que:
\vec a = a_x \vec i + a_y \vec j = -g \vec j\,
Onde, g é a constante de aceleração da gravidade.
Usando a definição de aceleração:
\vec a = \frac {d\vec v}{dt}
\int\limits_{\vec v_0}^{\vec v}d\vec v=\int\limits_{0}^{t}\vec a dt=\int\limits_{0}^{t}-g\vec jdt
\vec v-\vec v_0=-gt\vec j\,
\vec v = v_{0x}\vec i+(-gt + v_{0y})\vec j\,
De maneira semelhante, usando a definição de velocidade é possível encontrar a função da trajetória do móvel de acordo com o tempo, e consequentemente, a equação da trajetória:
\vec v=\frac{d\vec r}{dt}\,
\vec r = \underbrace{(v_{0x}t+x_0)}_x\vec i+\underbrace{\left (-\frac {gt^2}{2}+v_{0y}t+y_0\right )}_y\vec j, supondo que o movimento começa no ponto de cordenadas (x_0,y_0)\,
x=v_{0x}t+x_0\,
t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}, v_{0x}\ne0
Substituindo em y, temos que:
y=-\frac {g}{2}\left (\frac {x-x_0}{v_{0x}}\right )^2+v_{0y}\left (\frac{x-x_0}{v_{0x}}\right )+y_0
y=\frac {-gx^2+2gx_0x-gx_0^2}{2v_{0x}^2}+\frac {v_{0y}x-v_{0y}x_0}{v_{0x}}+y_0
y=x^2\left (-\frac {g}{2v_{0x}^2}\right )+x\left (\frac{gx_0}{v_{0x}^2}+\frac {v_{0y}}{v_{0x}}\right )+\left (-\frac{gx_0}{2v_{0x}^2}-\frac {v_{0y}x_0}{v_{0x}}+y_0\right )
Que é facilmente reconhecida como uma equação de segundo grau.
Para os casos particulares de queda livre ou lançamento vertical, onde v_{0x}=0\,, seria necessária outra dedução com certas considerações que fogem do escopo deste artigo, afinal a trajetória de tais movimentos não seria uma parábola.

[editar]Fórmulas do Movimento Parabólico

Sem as ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral ainda assim é possível construir equações que modelam esse tipo de situação. Por exemplo, se um projétil é disparado a partir do solo com uma velocidade inicial \,\!v_0, formando um ângulo \,\!\phi com o solo, em um local com aceleração da gravidade constante \,\!g. A partir das fórmulas de movimento da cinemática, é possível construir fórmulas diretas, nas quais \,\!A é o alcance do projétil e \,\!\Delta t é o tempo que o projétil leva para atingir o solo.
A\,\!=\frac{v_0^2\,\operatorname{sen}\,(2\phi)}{g}
\Delta t\,\!=\frac{2\,v_0\,\operatorname{sen}\,\phi}{g}
\Delta t\,\!=\frac{A\,\operatorname{sec}\,\phi}{v_0\,}

No topo do vôo, só existirá a componente horizontal da velocidade, que durante toda a trajetória mantém-se constante, desde que os atritos com o ar sejam desprezíveis. Essa componente vx é tal que:
v_x = v_0\,\operatorname{cos}\,\phi
A gravidade atuará, na primeira metade do movimento, como força antimovimento no eixo y referente ao movimento. Logo após o ponto mais alto do vôo, a gravidade começa a atuar como força a favor do movimento (em y), e vy começa a aumentar.
Pela fórmula do alcance, é possível notar que ele será máximo quando o ângulo de lançamento for de 45°, pois:
A\,\!=\frac{v_0^2\,\operatorname{sen}\,(2\cdot45^\circ)}{g}
A\,\!=\frac{v_0^2\,\operatorname{sen}\,90^\circ}{g}

Como \operatorname{sen}\,90^\circ\!=1

A\,\!=\frac{v_0^2\,}{g}

Qualquer outro valor para \phi\, resultaria em um seno menor que 1.
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Movimentos Circular


Movimento circular

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Na Mecânica clássica, movimento circular é aquele em que o objeto ou ponto material se desloca numa trajectória circular. Umaforça centrípeta muda de direção o vetor velocidade, sendo continuamente aplicada para o centro do círculo. Esta força é responsável pela chamada aceleração centrípeta, orientada para o centro da circunferência-trajectória. Pode haver ainda uma aceleração tangencial, que obviamente deve ser compensada por um incremento na intensidade da aceleração centrípeta a fim de que não deixe de ser circular a trajectória.
O movimento circular classifica-se, de acordo com a ausência ou a presença de aceleração tangencial, em movimento circular uniforme (MCU) e movimento circular uniformemente variado (MCUV).


Exemplos

O movimento circular ocorre quando em diversas situações que podem ser tomadas como exemplo:
  • Uma pedra fixada a um barbante e colocada a girar por uma pessoa descreverá um movimento circular uniforme.
  • Discos de vinil rodam nas vitrolas a uma frequência de 33 ou 45 rotações por minuto, em MCU.
  • Engrenagens de um relógio de ponteiros devem rodar em MCU com grande precisão, a fim de que não se atrase ou adiante o horário mostrado.
  • Uma ventoinha em movimento.
  • Satélites artificiais descrevem uma trajetória aproximadamente circular em volta do nosso planeta.
  • A translação aproximada, para cálculos muito pouco precisos, da Lua em torno do planeta Terra (a excentricidade orbital da Lua é de 0,0549).
  • O movimento de corpos quando da rotação da Terra, como por exemplo, um ponto no equador, movendo-se ao redor do eixo da Terra aproximadamente a cada 24 horas.
Na Mecânica clássica, movimento circular é aquele em que o objeto ou ponto material se desloca numa trajectória circular. Umaforça centrípeta muda de direção o vetor velocidade, sendo continuamente aplicada para o centro do círculo. Esta força é responsável pela chamada aceleração centrípeta, orientada para o centro da circunferência-trajectória. Pode haver ainda uma aceleração tangencial, que obviamente deve ser compensada por um incremento na intensidade da aceleração centrípeta a fim de que não deixe de ser circular a trajectória.
O movimento circular classifica-se, de acordo com a ausência ou a presença de aceleração tangencial, em movimento circular uniforme (MCU) e movimento circular uniformemente variado (MCUV).

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Movimentos



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Movimento retilíneo

Movimento retilíneo, em Mecânica, é aquele movimento em que o corpo ou ponto material se desloca apenas em trajetórias retas. Para tanto, ou a velocidade se mantém constante ou a variação da velocidade dá-se somente em módulo, nunca em direção. A aceleração, se variar, também variará apenas em módulo e nunca em direção, e deverá orientar-se sempre em paralelo com a velocidade.

Tipos de movimento retilíneo

Os movimentos retilíneos mais comumente estudados são o movimento retilíneo uniforme e o movimento retilíneo uniformemente variado.

Movimento retilíneo uniforme (MRU)

No movimento retilíneo uniforme(MRU), o vetor velocidade é constante no decorrer do tempo (não varia em módulo, sentido oudireção), e portanto a aceleração é nula. O corpo ou ponto material se desloca distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, vale lembrar que, uma vez que não se tem aceleração, sobre qualquer corpo ou ponto material em MRU a resultante das forças aplicadas é nula (primeira lei de Newton - Lei da Inércia). Uma das características dele é que sua velocidade em qualquer instante é igual à velocidade média.

Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV)

Já o movimento retilíneo uniformemente variado(MRUV), também encontrado como movimento uniformemente variado (MUV), é aquele em que o corpo sofre aceleração constante, mudando de velocidade num dado incremento ou decremento conhecido. Para que o movimento ainda seja retilíneo, a aceleração deve ter a mesma direção da velocidade. Caso a aceleração tenha o mesmosentido da velocidade, o movimento pode ser chamado de Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado. Caso a aceleração tenhasentido contrário da velocidade, o movimento pode ser chamado de Movimento Retilíneo Uniformemente Retardado.
A queda livre dos corpos, em regiões próxima à Terra, é um movimento retilíneo uniformemente variado. Uma vez que nas proximidades da Terra o campo gravitacional pode ser considerado uniforme. O movimento retilíneo pode ainda variar sem uma ordem muito clara, quando a aceleração não for constante.
É importante salientar que no MCU (movimento circular uniforme) a força resultante não é nula. A força centrípeta dá a aceleração necessária para que o móvel mude sua direção sem mudar o módulo de sua velocidade. Porém, o vetor velocidade está constantemente mudando.


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