Movimento oscilatório

Oscilações Livres e Forçadas

Suspendamos uma mola de um suporte metálico. Na extremidade livre inferior da mola vamos suspender uma esfera metálica. A mola alonga-se até a força elástica  contrabalançar a força gravítica , de acordo com a nomenclatura indicada na figura.

Figura 1 Equilíbrio estático Movimento oscilatório	Se deslocarmos a esfera para baixo, afastando-a da sua posição de equilíbrio, e depois a largarmos, veremos que ela fica animada de um movimento para cima e para baixo, em que a esfera se desloca sucessivamente para um lado e para o outro da sua posição de equilíbrio, um movimento oscilatório.
Com o passar do tempo, as oscilações vão diminuindo, isto é, amortecem, até a esfera parar por completo, isto devido à actuação de forças resistentes.

Mais fácil ainda é pormos a oscilar uma esfera pendurada de um fio suspenso de um apoio. Na posição de equilíbrio o fio encontra-se disposto verticalmente, e a força gravítica  que actua na esfera é compensada pela força que o fio exerce na esfera, a tensão do fio, .	Figura 2 Equilíbrio estático (posição de equilíbrio) Movimento oscilatório em torno da posição de equilíbrio
Afastando a esfera desta posição e largando-a de seguida, vemos que ela começa a oscilar da direita para a esquerda, em torno da posição de equilíbrio, enquanto as oscilações não amortecem de vez. O sistema assim descrito é um Pêndulo Gravítico Simples. Em geral dá-se o nome de pêndulo a um corpo suspenso ou preso a um eixo, que pode realizar oscilações sob a acção da força gravítica.

Qual é a característica principal do movimento oscilatório?

É a repetição, ou a quase repetição do movimento!

O pêndulo ao concluir uma oscilação, isto é, ao percorrer a trajectória entre as posições extremas, passando sempre pela posição inicial, volta a fazer este percurso.

Se o movimento se repetir de uma forma exacta, falamos de um movimento periódico.

Assim, oscilações são movimentos que se repetem com exactidão, ou aproximadamente, ao fim de determinados intervalos de tempo.

Estas oscilações são livres pois as forças que actuam entre os constituintes do sistema, Terra + pêndulo, são forças internas. A força responsável pela oscilação, a força gravítica, é constante, não varia em intensidade, direcção ou sentido.

Condições para a existência de oscilações livres

Torna-se cómodo começar por analisar as oscilações de uma esfera ao longo da horizontal, isto é, segundo um eixo 0x, sob a acção da força elástica de uma mola .

Se deslocarmos a esfera da sua posição de equilíbrio, a), para o lado direito, alongamos o comprimento da mola em , b), passando a actuar sobre a esfera a força elástica da mola.

Figura 3

Esta força, segundo a Lei de Hooke, é proporcional à deformação da mola e dirigida da direita para a esquerda. Sob a acção da força elástica da mola a esfera começa a deslocar-se com aceleração dirigida para a esquerda, aumentando o módulo da sua velocidade. A força elástica, durante este processo, diminui pois a deformação diminui. No momento em que a esfera atinge a posição de equilíbrio, a força elástica é nula. Consequentemente, de acordo com a 2ª Lei de Newton, a aceleração da esfera é nula, atingindo nesse instante o módulo da velocidade o seu valor máximo. Não se detendo na posição de equilíbrio, a esfera continua a sua deslocação para a esquerda, devido à sua inércia, acabando a mola por se contrair, c). Em consequência disto, passa agora a actuar na esfera uma força elástica dirigida para a direita, que se lhe opõe ao movimento e trava a esfera. Esta força, e a aceleração resultante, dirigida para a direita, aumenta em intensidade na proporção directa do módulo da elongação  da esfera em relação à posição de equilíbrio. A velocidade diminui em módulo até atingir o valor zero na posição mais à esquerda. Depois disto, a esfera começa a deslocar-se com aceleração dirigida para a direita. Com a diminuição do módulo da elongação  a força , força elástica, diminui a sua intensidade até ser nula, de novo, na posição de equilíbrio. A esfera, no entanto, já conseguiu reunir até ao momento a velocidade necessária para continuar a sua deslocação para a direita, voltando a repetir-se o movimento inicial.

Se não existisse atrito, o movimento da esfera nunca pararia, mas ele existe, em particular a resistência do ar, e o sentido das forças resistentes é sempre contrário ao do movimento, isto é, da velocidade. Por este motivo, o atrito trava a deslocação da esfera, sendo a amplitude das oscilações, afastamento máximo relativamente á posição de equilíbrio, cada vez menor, até que por fim o movimento cessa de todo. Se o atrito for pequeno, o amortecimento das oscilações só se nota após muitas oscilações da esfera, podendo considerarmos desprezável o atrito durante um intervalo de tempo não muito longo.

Pêndulo Gravítico Simples

Analisemos um pêndulo simples. As dimensões da esfera são muito inferiores ao comprimento do fio, podendo então desprezar-se, e consideramos a esfera como uma partícula material.

A deformação do fio, uma vez que é muito pequena, não é tomada em consideração e a massa do fio, sendo desprezável em comparação com a massa da esfera, não é tida em conta.

Figura 4

Afastemos o pêndulo da sua posição de equilíbrio e larguemo-lo. Sobre a esfera actuam a força gravítica , de acordo com a notação da figura, e a tensão do fio , também de acordo com a notação utilizada na figura. Vamos considerar muito pequena a resistência do ar, pelo que a vamos desprezar. Torna-se cómodo decompor a força gravítica em duas componentes, uma segundo a linha de acção do fio, componente normal, , segundo a notação usada na figura, e outra tangencial à trajectória da esfera, , também segundo a mesma notação.

A tensão do fio  e a componente normal da força gravítica  são perpendiculares ao vector velocidade do pêndulo e comunicam-lhe uma aceleração centrípeta.

O vector aceleração é dirigido para o centro do arco de circunferência que descreve a trajectória do pêndulo. O trabalho realizado por estas forças é nulo e, de acordo com a Lei do Trabalho – Energia, estas duas forças não fazem variar o módulo da velocidade do pêndulo, resumindo-se a sua acção em fazer variar a direcção e o sentido da velocidade de um modo contínuo, sendo o vector velocidade sempre tangente à trajectória descrita e, portanto, sempre tangencial ao arco de circunferência.

Sob a acção da componente tangencial da força gravítica  o pêndulo começa a percorrer o arco de circunferência em sentido descendente com velocidade que cresce em módulo e, à medida que se desloca, esta componente da força gravítica dirigida para a posição de equilíbrio diminui em intensidade e, na altura em que o pêndulo passa pela posição de equilíbrio fica igual a zero.

Graças à sua inércia, o pêndulo continua o seu movimento em sentido ascendente. A partir deste momento, a componente tangencial da força gravítica passa a ter sentido contrário ao da velocidade. Assim, o módulo da velocidade do pêndulo diminui e tanto mais rapidamente quanto maior for o ângulo formado pelo fio com a vertical.

Quanto maior for o ângulo, tanto maior será a intensidade desta componente tangencial da força gravítica.

Quando o pêndulo atinge a outra posição extrema é máxima a intensidade da componente tangencial da força gravítica, encontrando-se dirigida para a posição de equilíbrio. Depois, a velocidade do pêndulo aumenta em módulo e ele dirige-se para a posição de equilíbrio. Depois de passar pela posição de equilíbrio, ele só volta a ocupar de novo a posição inicial se a força de atrito do ar for desprezável e o trabalho por ela realizado durante um curto intervalo de tempo puder ser desprezado.

Dinâmica do Movimento Oscilatório

Pêndulo elástico

De acordo com a 2ª Lei de Newton temos que .

Voltemos a recordar o movimento rectilíneo de uma esfera que se desloca ao longo de um eixo horizontal sob a acção da força elástica de uma mola, como mostra a figura 3.

Temos então que  em que  é a constante elástica da mola,  a massa da esfera e  a norma da elongação da mola, isto é, a grandeza que mede o afastamento da esfera relativamente à posição de equilíbrio ao longo do tempo.

A elongação da mola, em qualquer instante de tempo, pode ser determinada através da expressão , em que  é a amplitude do movimento, isto é, o valor máximo da elongação, ou seja, o afastamento máximo da esfera à posição de equilíbrio.

 (1ª derivada)

 (2ª derivada)

Temos então que  e , estando o sinal negativo relacionado com o facto da força elástica, e a aceleração, se oporem sempre ao aumento da elongação e apontarem sempre no sentido da posição de equilíbrio, isto é, têm sentido oposto ao da elongação.

Mas a elongação da mola, em qualquer instante de tempo, também pode ser determinada através da expressão . Derivando duas vezes chegaríamos também à expressão .

Representemos por  a grandeza constante  que depende apenas das propriedades do sistema em causa, .

Assim  é equivalente a ter .

A segunda derivada será igual a , ou seja .

A curva que representa a variação da coordenada de um dado corpo oscilatório em função do tempo, conforme a expressão

 

tem a forma seguinte

Figura 5

Relembrando os conceitos de frequência do movimento e período do mesmo temos que:

Então , isto é, o número de oscilações realizadas pela esfera em cada  segundos e designa-se, como deves lembrar-te, de velocidade angular.

Está assim verificada a veracidade da relação .

Como , temos que , isto é, a expressão que permite calcular o período do movimento oscilatório de uma esfera ligada a uma mola elástica.

Movimento do pêndulo gravítico simples

Enquanto que a esfera realiza oscilações, vai deslocando-se ao longo de um arco de circunferência, cujo raio é igual ao comprimento  do fio, como mostra a figura 4.

Deste modo, a posição da esfera é determinada em cada instante por uma única grandeza, o ângulo  de desvio em relação à vertical.

Consideremos o ângulo  positivo se o pêndulo estiver desviado para a direita da posição de equilíbrio e, negativo, se o desvio for à esquerda da posição de equilíbrio.

A projecção da força gravítica tangente à trajectória do pêndulo é, algebricamente, igual a  , em que o sinal negativo exprime o facto de  e  serem de sinais contrários, isto é, quando o pêndulo se desloca para a direita,  é positivo e  encontra-se dirigida da direita para a esquerda e o seu valor algébrico é negativo. Quando o pêndulo se desloca para a esquerda,  é negativo e encontra-se dirigida da esquerda para a direita e o seu valor algébrico é positivo.

A projecção do vector aceleração do pêndulo, tangente á trajectória, algebricamente falando, e que mede a variação do valor da velocidade do pêndulo é, de acordo com a 2ª Lei de Newton, 

Vamos a considerar apenas ângulos de desvio pequenos tal que,  , no caso do ângulo ser medido em radianos.

Podemos então considerar 

Representando por  o comprimento do arco OA, como mostra a figura 4, podemos escrever  donde .

Substituindo em , temos que .

Não esquecer que a aceleração tangencial é a segunda derivada da posição logo,  e então, .

Esta expressão é semelhante aquela que traduzia a aceleração da esfera presa a uma mola elástica e que foi atrás descrita,  , isto é, .

Em conclusão, aqui a aceleração é proporcional, não à rigidez da mola e à massa da esfera, como na situação anterior, mas sim á aceleração da gravidade e ao comprimento do fio.

No entanto, como anteriormente, a aceleração é directamente proporcional à coordenada angular da esfera em relação à posição de equilíbrio.

Em suma, a aceleração é directamente proporcional à coordenada, linear ou angular.

Tal como  , no caso da esfera presa à mola elástica, também, no caso do pêndulo,  , e o período das oscilações, que era no caso da esfera ligada á mola elástica  , porque  , é aqui para o pêndulo dado por .

Esta fórmula foi obtida e demonstrada experimentalmente por Christian Huygens, cientista holandês contemporâneo de Isaac Newton.

O período das oscilações aumenta com o comprimento do fio do pêndulo, não dependendo da massa do mesmo. Isto pode ser objecto de experimentação com vários tipos de pêndulos.

O facto do período das oscilações depender da aceleração da gravidade local também pode ser comprovado experimentalmente.

Quanto menor for a aceleração da gravidade, mais longo é o período das oscilações do pêndulo e, por conseguinte, menos rápido é o ritmo do movimento.

A dependência entre o período de oscilações do pêndulo e o valor da aceleração da gravidade é aproveitada na prática.

Avaliando o período das oscilações, pode-se determinar com exactidão o valor da aceleração da gravidade.

O movimento harmónico simples pode então definir-se como sendo o movimento em que a aceleração escalar tem, em cada instante, sinal oposto ao da elongação, e módulo proporcional ao módulo da elongação.

O pêndulo elástico e o pêndulo gravítico simples são, para oscilações de muito pequena amplitude e na ausência de forças resistentes, osciladores harmónicos simples e o movimento por eles executado é um movimento harmónico simples.