Princípio de Arquimedes : Um objeto que está parcialmente, ou completamente, submerso em um fluido, sofrerá uma força de empuxo igual ao peso do fluido que objeto desloca.


        FE = Wfluido =  rfluido . Vdeslocado . g           [1.9]


A força de empuxo, FE , aplicada pelo fluido sobre um objeto é dirigida para cima. A força deve-se à diferença de pressão exercida na parte de baixo e na parte de cima do objeto. Para um  objeto flutuante, a parte que fica acima da superfície está sob a pressão atmosférica, enquanto que a parte que está  abaixo da superfície está sob uma pressão maior porque ela está em contato com uma certa  profundidade do fluido, e a pressão aumenta com a profundidade. Para um objeto completamente submerso, a parte de cima do objeto não está sob a pressão atmosférica, mas a parte de baixo ainda está sob uma pressão maior porque está mais fundo no fluido. Em ambos os casos a diferença na pressão resulta em uma força resultante para cima (força de empuxo) sobre o objeto. Esta força tem que ser igual ao peso da massa de água  (rfluido . Vdeslocado) deslocada, já que se o objeto não ocupasse aquele espaço esta seria a força aplicada ao fluido dentro daquele volume (Vdeslocado) a fim de que o fluido estivesse em estado de equilíbrio.


Exemplo


Uma bola de futebol flutua em uma poça de água. A bola possui uma massa de  0,5 kg e um diâmetro de 22 cm.
(a) Qual é a força de empuxo? 
(b) Qual é o volume de água deslocado pela bola? 
(c) Qual é a densidade média da bola de futebol?


(a) Para encontrar a força de empuxo, desenhe um diagrama de forças simples. A bola flutua na água, logo não existe força resultante: o peso é contrabalançado pela força de empuxo. Logo,


    FE = mg =  0,5 kg x 9,8 m/s2 = 4,9 N


(b) Pelo pricípio de Arquimedes, a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado, Wfluido . O peso é massa vezes g, e a massa é a densidade vezes o volume. Logo,


    FE = Wfluido =  rfluido  . Vdeslocado  . g


e o volume descolado é simplesmente


    Vdeslocado = FE / (rfluido . g) = 4,9 / (1000 x 9,8) = 5,58 x 10-3 m3


(c) Para encontrar a densidade da bola precisamos determinar o seu volume. Este é dado por


    Vbola = 4p r3/3= 5,58 x 10-3 m3


A densidade é portanto a massa dividida pelo volume:


    rbola = 0,5/(5,58 x 10-3) =89,6 kg/m3


Uma outra maneira de se encontrar a densidade da bola é usar o volume do fluido deslocado. Para um objeto flutuante, o peso do objeto é igual à força de empuxo, que é por sua vez igual ao peso do fluido deslocado. Cancelando os fatores de g, obtemos:


    para um objeto flutuante: r . V = rfluido . Vdeslocado


Logo, a densidade é:


      r   = rfluido . Vdeslocado / V = 1000 x 5,0 x 10-4 /(5,58 x 10-3) = 89,6 kg/m3


A bola de futebol é muito menos densa do que a água porque ela é cheia de ar. Um objeto (ou um outro fluido) irá flutuar se sua densidade for menor do que a do fluido; se sua densidade for maior do que a do fluido, ela afundará. 



HIDROSTÁTICA: Pressão Atmosférica e a Experiência de Torricelli


A atmosfera terrestre é composta por vários gases, que exercem uma pressão sobre a superficie da Terra. Essa pressão, denominada pressão atmosférica, depende da altitude do local, pois à medida que nos afastamos da superfície do planeta, o ar se torna cada vez mais rarefeito, e, portanto, exercendo uma pressão cada vez menor.
O físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) realizou uma experiência para determinar a pressão atmosférica ao nível do mar. Ele usou um tubo de aproximadamente 1,0 m de comprimento, cheio de mercúrio (Hg) e com a extremidade tampada. Depois, colocou o tubo , em pé e com a boca tampada para baixo, dentro de um recipiente que também continha mercúrio. Torricelli observou que, após destampar o tubo, o nível do mercúrio desceu e estabilizou-se na posição correspondente a 76 cm, restando o vácuo na parte vazia do tubo.

Na figura, as pressões nos pontos A e B são iguais (pontos na mesma horizontal e no mesmo líquido). A pressão no ponto A corresponde à pressão da coluna de mercúrio dentro do tubo, e a pressão no ponto B corresponde à pressão atmosférica ao nível do mar:
pB = pA è pATM = pcoluna(Hg)
Como a coluna de mercúrio que equlibra a pressã atmosférica é de 76 cm, dizemos que a pressão atmosférica ao nível do mar equivale à pressão de uma coluna de mercúrio de 76 cm. Lembrando que a pressão de uma coluna de líquido é dada por dgh (g = 9,8 m/s2), temos no SI :
pATM @ 76cmHg = 760mmHg = 1,01x105 Pa
A maior pressão atmosférica é obtida ao nível do mar (altitude nula). Para qualquer outro ponto acima do nível do mar, a pressão atmosférica é menor.




Os manômetros (medidores de pressão) utilizam a pressão atmosférica como referência, medindo a diferença entre a pressão do sistema e a pressão atmosférica. Tais pressões chamam-se pressões manométricas. A pressão manométrica de um sistema pode ser positiva ou negativa, dependendo de estar acima ou abaixo da pressão atmosférica. Quando o manômetro mede uma pressão manométrica negativa, ele é cjamado de manômetro de vácuo.


Manômetro utilizado em postos de gasolina (os médicos usam um sistema semelhante) para calibração de pneus. A unidade de medida psi (libra por polega ao quadrado) corresponde a, aproximadamente, 0,07 atm. Assim, a pressão lida no mostrador , 26 psi, é igual a aproximadamente, 1,8 atm.

Hidrostática é a parte da física que estuda as forças exercidas por e sobre fluidos que estão em repouso.

Conceito de pressão: A grandeza dada pela relação entre a intensidade da força que atua perpendicularmente e a área em que ela se distribui é denominada pressão (p).

Assim se uma força de intensidade 10N estiver aplicada perpendicularmente à área de 0,4m², a pressão sobre ela será p = 10N/0,4m², ou p = 25N/m². Distribuindo-se a mesma forma sobre uma área de apenas 0,2m², a pressão exercida será p = 10n/0,2m² ou p = 50N/m².

Sendo F a intensidade da resultante das forças distribuídas perpendicularmente em uma superfície de área A, a pressão p é dada pela relação:

p = F / A

A unidade de pressão no sistema internacional de unidades (SI) é o Newton por metro quadrado, também denominada Pascal (Pa). Eventualmente é usada o dina por centímetro quadrado(dyn/cm²).

Os aparelhos que medem pressão são denominados manômetros.

Conceito de massa específica(μ): considere uma amostra de certa substância cuja massa seja m e cujo volume seja V. Define-se massa específica de substância pela relação:

μ = m / V

Conceito de densidade(d): considere um corpo homogêneo ou não, de massa m e volume V. A densidade do corpo é dada por:

d = m / V

Se um corpo é maciço e homogêneo, a sua densidade coincide com a massa específica (μ) do material que o constitui.

Para os líquidos, considerados sempre homogêneos, não é necessário fazer a distinção entre densidade e massa específica. A tabela seguinte fornece alguns valores de massa específica para alguns materiais.

SÓLIDOS		LÍQUIDOS
Alumínio	2,7g/cm³	Álcool	0,79g/cm³
Ferro	7,9g/cm³	Mercúrio	13,6g/cm³
Chumbo	11,3g/cm³	Água	1g/cm³
Platina	21,5g/cm³

As unidades de densidade ou massa específica correspondem sempre à relação entre unidade de massa e de volume. As unidades mais utilizadas são Kg/m³, g/cm³ e Kg/l.

hidrostática

A hidrostática, também chamada estática dos fluidos ou fluidostática (hidrostática refere-se a água, que foi o primeiro fluido a ser estudado, assim por razões históricas mantém-se o nome) é a parte da física que estuda as forças exercidas por e sobre fluidos em repouso.

A pressão atmosférica é a pressão hidrostática causada pelo peso do ar acima do ponto de medição. Áreas de baixa pressão têm menos massa atmosférica acima do local, enquanto que as áreas de alta pressão têm mais massa atmosférica acima do local. Da mesma forma, quanto maior for a elevação, menos massa atmosférica acima haverá, por isso que a pressão diminui com o aumento da altitude.



Pressão Atmosférica e a Experiência de Torricelli

A atmosfera terrestre é composta por vários gases, que exercem uma pressão sobre a superficie da Terra. Essa pressão, denominada pressão atmosférica, depende da altitude do local, pois à medida que nos afastamos da superfície do planeta, o ar se torna cada vez mais rarefeito, e, portanto, exercendo uma pressão cada vez menor.

O físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) realizou uma experiência para determinar a pressão atmosférica ao nível do mar. Ele usou um tubo de aproximadamente 1,0 m de comprimento, cheio de mercúrio (Hg) e com a extremidade tampada. Depois, colocou o tubo , em pé e com a boca tampada para baixo, dentro de um recipiente que também continha mercúrio. Torricelli observou que, após destampar o tubo, o nível do mercúrio desceu e estabilizou-se na posição correspondente a 76 cm, restando o vácuo na parte vazia do tubo.

Constatação experimental da pressão no seio de um líquido
Varias experiências evidenciam a pressão suportada por ume superfície mergulhada no seio de um líquido em equilíbrio Dentre elas citaremos apenas e experiência realizada com a cápsula manométrica . A cápsula manométrica consta essencialmente de uma caixa dotada de uma membrana elástica . A caixa é ligada a um tubo em forma de U por meio de um condutor flexível.

Nos ramos do tubo em U colocamos um líquido colorido. Pelo desnível do liquido nos ramos do tubo analisamos a pressão exercida sobre a membrana elástica da capsula.

Inicialmente o líquido alcança o mesmo nível em ambos os ramos do tubo como se vê na figura. Isto se dá porque a pressão exercida na superfície livre do liquido contido no ramo esquerdo é a mesma pressão exercida sobre a superfície da membrana; esta pressão é a pressão atmosférica.

Aplicações da Lei de Stevin 

Pressão total em um ponto de um líquido em equilíbrio 

Para entendermos melhor como essa lei é aplicada, vamos pensar em um recipiente que esteja totalmente exposto à atmosfera e que contenha um líquido homogêneo e que esteja em equilíbrio sob a ação da gravidade. 

Portanto podemos quando há pressão no interior de um líquido, ela poderá aumentar linearmente com a sua profundidade. 

Resumo

Este trabalho mostra uma proposta para ensinar hidrostática para alunos do ensino

médio. Identificando a hidrostática, através de algumas perguntas selecionadas de livros

didáticos, nas mais diversas áreas profissionais e no cotidiano. O objetivo é mostrar aos 

estudantes a importância da compreensão deste tema. Desta forma os alunos passam a 

compreender que a física está presente em suas vidas e que a matemática é uma forma 

de auxiliar a representar os conceitos físicos através de equações. Com isso passam a 

associar fórmulas teóricas abstratas a situações reais vividas no cotidiano. Também

serão apresentadas duas experiências que visam auxiliar o aluno a formalizar os

conceitos físicos associados e preparar suas estruturas cognitivas para compreenderem

com mais facilidade as formulações teóricas que serão apresentadas nas aulas.    

1- Introdução

          O desenvolvimento do conhecimento está diretamente ligado à necessidade de sobrevivência

do homem. Nesse sentido o conhecimento da física possibilitou o avanço tecnológico em muitos

setores de nossa sociedade, vamos mostrar como este conhecimento auxilia nossas vidas. Falaremos 

da importância da física no nosso dia-a-dia como por exemplo quando usamos um “tubo em U”

para esvaziarmos as piscinas ou como funciona o sistema de freios dos automóveis ou ainda como 

funciona o processo de vedação das atuais embalagens de requeijão em copo. 

          A linha norteadora para o desenvolvimento deste trabalho foram os Parâmetros Curriculares 

Nacionais para o Ensino Médio – PCNEM do MEC, que diz que “é imprescindível considerar o 

mundo vivencial dos alunos, sua realidade próxima ou distante, os objetos e fenômenos com que

efetivamente lidam, ou os problemas e indagações que movem sua curiosidade. Esse deve ser o

ponto de partida e, de certa forma, também o ponto de chegada” [1]

Revolução Industrial - História da Revolução Industrial

Começa na Inglaterra, em meados do século XVIII. Caracteriza-se pela passagem da manufatura à indústria mecânica. A introdução de máquinas fabris multiplica o rendimento do trabalho e aumenta a produção global. A Inglaterra adianta sua industrialização em 50 anos em relação ao continente europeu e sai na frente na expansão colonial. 

Processo Tecnológico 

A invenção de máquinas e mecanismos como a lançadeira móvel, a produção de ferro com carvão de coque, a máquina a vapor, a fiandeira mecânica e o tear mecânico causam uma revolução produtiva. Com a aplicação da força motriz às máquinas fabris, a mecanização se difunde na indústria têxtil e na mineração. As fábricas passam a produzir em série e surge a indústria pesada (aço e máquinas). A invenção dos navios e locomotivas a vapor acelera a circulação das mercadorias. 

 Empresários e Proletários 

O novo sistema industrial transforma as relações sociais e cria duas novas classes sociais, fundamentais para a operação do sistema. Os empresários (capitalistas) são os proprietários dos capitais, prédios, máquinas, matérias-primas e bens produzidos pelo trabalho. Os operários, proletários ou trabalhadores assalariados, possuem apenas sua força de trabalho e a vendem aos empresários para produzir mercadorias em troca de salários. 
Exploração do Trabalho 
No início da revolução os empresários impõem duras condições de trabalho aos operários sem aumentar os salários para assim aumentar a produção e garantir uma margem de lucro crescente. A disciplina é rigorosa mas as condições de trabalho nem sempre oferecem segurança. Em algumas fábricas a jornada ultrapassa 15 horas, os descansos e férias não são cumpridos e mulheres e crianças não têm tratamento diferenciado. 

Movimentos Operários 

Surgem dos conflitos entre operários, revoltados com as péssimas condições de trabalho, e empresários. As primeiras manifestações são de depredação de máquinas e instalações fabris. Com o tempo surgem organizações de trabalhadores da mesma área. 

Sindicalismo 

Resultado de um longo processo em que os trabalhadores conquistam gradativamente o direito de associação. Em 1824, na Inglaterra, são criados os primeiros centros de ajuda mútua e de formação profissional. Em 1833 os trabalhadores ingleses organizam os sindicatos (trade unions) como associações locais ou por ofício, para obter melhores condições de trabalho e de vida. Os sindicatos conquistam o direito de funcionamento em 1864 na França, em 1866 nos Estados Unidos, e em 1869 na Alemanha. 

Curiosidade 

Primeiro de maio - É a data escolhida na maioria dos países industrializados para comemorar o Dia do Trabalho e celebrar a figura do trabalhador. A data tem origem em uma manifestação operária por melhores condições de trabalho iniciada no dia 1º de maio de 1886, em Chicago, nos EUA. No dia 4, vários trabalhadores são mortos em conflitos com as forças policiais. Em conseqüência, a polícia prende oito anarquistas e os acusa pelos distúrbios. 

Quatro deles são enforcados, um suicida-se e três, posteriormente, são perdoados. Por essa razão, desde 1894, o Dia do Trabalho, nos Estados Unidos, é comemorado na primeira segunda-feira de setembro. 

Consequência do Processo de Industrialização 

As principais são a divisão do trabalho, a produção em série e a urbanização. Para maximizar o desempenho dos operários as fábricas subdividem a produção em várias operações e cada trabalhador executa uma única parte, sempre da mesma maneira (linha de montagem). Enquanto na manufatura o trabalhador produzia uma unidade completa e conhecia assim todo o processo, agora passa a fazer apenas parte dela, limitando seu domínio técnico sobre o próprio trabalho. 

Acúmulo de Capital 

Depois da Revolução Gloriosa a burguesia inglesa se fortalece e permite que o país tenha a mais importante zona livre de comércio da Europa. O sistema financeiro é dos mais avançados. Esses fatores favorecem o acúmulo de capitais e a expansão do comércio em escala mundial. 
Controle do Campo 
Cada vez mais fortalecida, a burguesia passa a investir também no campo e cria os cercamentos (grandes propriedades rurais). Novos métodos agrícolas permitem o aumento da produtividade e racionalização do trabalho. Assim, muitos camponeses deixam de ter trabalho no campo ou são expulsos de suas terras. Vão buscar trabalho nas cidades e são incorporados pela indústria nascente. 

Crescimento Populacional 

Os avanços da medicina preventiva e sanitária e o controle das epidemias favorecem o crescimento demográfico. Aumenta assim a oferta de trabalhadores para a indústria. 

Reservas de Carvão 

Além de possuir grandes reservas de carvão, as jazidas inglesas estão situadas perto de portos importantes, o que facilita o transporte e a instalação de indústrias baseadas em carvão. Nessa época a maioria dos países europeus usa madeira e carvão vegetal como combustíveis. As comunicações e comércio internos são facilitados pela instalação de redes de estradas e de canais navegáveis. Em 1848 a Inglaterra possui 8 mil km de ferrovias. 

Situação Geográfica 

A localização da Inglaterra, na parte ocidental da Europa, facilita o acesso às mais importantes rotas de comércio internacional e permite conquistar mercados ultramarinos. O país possui muitos portos e intenso comércio costeiro. 

Expansão Industrial 

A segunda fase da revolução (de 1860 a 1900) é caracterizada pela difusão dos princípios de industrialização na França, Alemanha, Itália, Bélgica, Holanda, Estados Unidos e Japão. Cresce a concorrência e a indústria de bens de produção. Nessa fase as principais mudanças no processo produtivo são a utilização de novas formas de energia (elétrica e derivada de petróleo).

Revolução Industrial - Parte 2 

A revolução industrial caracteriza-se pela produção industrial em grande escala voltada para o mercado mundial, com uso intensivo de máquinas. A Inglaterra é o primeiro país a realizá-la. A economia inglesa começa a crescer em 1780, e, em 1840, a indústria já está mecanizada, há uma rede nacional de estradas de ferro, começa a construir ferrovias em outros países, exporta locomotivas, vagões, navios e máquinas industriais. 
Era das Invenções 
Nos séculos XVIII e XIX a tecnologia vai adquirindo seu caráter moderno de ciência aplicada. As descobertas e invenções encontram rapidamente aplicação prática na indústria ou no desenvolvimento da ciência. Os próprios cientistas, muitos ainda autodidatas, transformam-se em inventores, como Michael Faraday, Lord Kelvin e Benjamin Franklin. 

Benjamin Franklin 

(1706-1790), estadista, escritor e inventor americano. Nasce em Boston, em uma família humilde e numerosa - 17 irmãos. Aos 10 anos, começa a trabalhar com o pai, um fabricante de sabão. Aos 12, emprega-se como aprendiz na gráfica de um de seus irmãos. 

Em 1723, muda-se para a Filadélfia, quando começa a dedicar-se às letras e às ciências. Autodidata, aprende diversas línguas. Em 1730, já é proprietário de uma oficina gráfica e da Gazeta da Pensilvânia. Membro da Assembléia da Pensilvânia, dedica-se à política e à pesquisa científica. Em 1752, inventa o pára-raios. Quinze anos depois, ajuda a elaborar a Declaração de Independência dos EUA. Seu retrato aparece na nota de US$ 100. 

Eletricidade - Da primeira pilha, produzida em 1800 por Alessandro Volta, até a lâmpada elétrica de Thomas Edison, em 1878, centenas de pesquisadores dedicam-se a estudar a eletricidade em várias partes do mundo. Suas descobertas aceleram o desenvolvimento da física e da química e os processos industriais. 

Thomas Alva Edison 

(1847-1931) - é um dos grandes inventores norte-americanos. Nasce em Ohio, filho de um operário de ferro-velho. É alfabetizado pela mãe e, aos 12 anos, começa a trabalhar como vendedor de jornais. Durante a Guerra de Secessão instala uma impressora num vagão de trem e inicia a publicação do semanário The Weekly Herald, o qual redige, imprime e vende. Dedica-se à pesquisa científica e é um dos primeiros a criar um laboratório comercial especializado em invenções práticas. Emprega dezenas de cientistas e pesquisadores. Até 1928, já havia registrado mais de mil invenções, como o fonógrafo (1877), a lâmpada incandescente (1878) e o cinetoscópio (1891).

A Revolução Industrial consistiu em um conjunto de mudanças tecnológicas com profundo impacto no processo produtivo em nível econômico e social. Iniciada na Inglaterra em meados do século XVIII, expandiu-se pelo mundo a partir do século XIX.
Ao longo do processo (que de acordo com alguns autores se registra até aos nossos dias), a era da agricultura foi superada, a máquina foi superando o trabalho humano, uma nova relação entre capital e trabalho se impôs, novas relações entre nações se estabeleceram e surgiu o fenômeno da cultura de massa, entre outros eventos.
Essa transformação foi possível devido a uma combinação de fatores, como o liberalismo econômico, a acumulação de capital e uma série de invenções, tais como o motor a vapor. O capitalismo tornou-se o sistema econômico vigente.
Contexto histórico
Antes da Revolução Industrial, a atividade produtiva era artesanal e manual (daí o termo manufatura), no máximo com o emprego de algumas máquinas simples. Dependendo da escala, grupos de artesãos podiam se organizar e dividir algumas etapas do processo, mas muitas vezes um mesmo artesão cuidava de todo o processo, desde a obtenção da matéria-prima até à comercialização do produto final. Esses trabalhos eram realizados em oficinas nas casas dos próprios artesãos e os profissionais da época dominavam muitas (se não todas) etapas do processo produtivo.
Com a Revolução Industrial os trabalhadores perderam o controle do processo produtivo, uma vez que passaram a trabalhar para um patrão (na qualidade de empregados ou operários), perdendo a posse da matéria-prima, do produto final e do lucro. Esses trabalhadores passaram a controlar máquinas que pertenciam aos donos dos meios de produção os quais passaram a receber todos os lucros. O trabalho realizado com as máquinas ficou conhecido por maquinofatura.
Esse momento de passagem marca o ponto culminante de uma evolução tecnológica, econômica e social que vinha se processando na Europa desde a Baixa Idade Média, com ênfase nos países onde a Reforma Protestante tinha conseguido destronar a influência da Igreja Católica: Inglaterra, Escócia, Países Baixos, Suécia. Nos países fiéis ao catolicismo, a Revolução Industrial eclodiu, em geral, mais tarde, e num esforço declarado de copiar aquilo que se fazia nos países mais avançados tecnologicamente: os países protestantes.
De acordo com a teoria de Karl Marx, a Revolução Industrial, iniciada na Grã-Bretanha, integrou o conjunto das chamadas Revoluções Burguesas do século XVIII, responsáveis pela crise do Antigo Regime, na passagem do capitalismo comercial para o industrial. Os outros dois movimentos que a acompanham são a Independência dos Estados Unidos e a Revolução Francesa que, sob influência dos princípios iluministas, assinalam a transição da Idade Moderna para a Idade Contemporânea. Para Marx, o capitalismo seria um produto da Revolução Industrial e não sua causa.
Com a evolução do processo, no plano das Relações Internacionais, o século XIX foi marcado pela hegemonia mundial britânica, um período de acelerado progresso econômico-tecnológico, de expansão colonialista e das primeiras lutas e conquistas dos trabalhadores. Durante a maior parte do período, o trono britânico foi ocupado pela rainha Vitória (1837-1901), razão pela qual é denominado como Era Vitoriana. Ao final do período, a busca por novas áreas para colonizar e descarregar os produtos maciçamente produzidos pela Revolução Industrial produziu uma acirrada disputa entre as potências industrializadas, causando diversos conflitos e um crescente espírito armamentista que culminou, mais tarde, na eclosão, da Primeira Guerra Mundial (1914).
A Revolução Industrial ocorreu primeiramente na Europa devido a três fatores: 1) os comerciantes e os mercadores europeus eram vistos como os principais manufaturadores e comerciantes do mundo, detendo ainda a confiança e reciprocidade dos governantes quanto à manutenção da economia em seus estados; 2) a existência de um mercado em expansão para seus produtos, tendo a Índia, a África, a América do Norte e a América do Sul sido integradas ao esquema da expansão econômica européia; e 3) o contínuo crescimento de sua população, que oferecia um mercado sempre crescente de bens manufaturados, além de uma reserva adequada (e posteriormente excedente) de mão-de-obra. 






Principais avanços tecnológicos
éculo XVII1698 - Thomas Newcomen, em Staffordshire, na Grã-Bretanha, instala um motor a vapor para esgotar água em uma mina de carvão.Século XVIII1708 - Jethro Tull (agricultor), em Berkshire, na Grã-Bretanha, inventa a primeira máquina de semear puxada a cavalo, permitindo a mecanização da agricultura.1709 - Abraham Darby, em Coalbrookdale, Shropshire, na Grã-Bretanha, utiliza o carvão para baratear a produção do ferro.1733 - John Kay, na Grã-Bretanha, inventa uma lançadeira volante para o tear, acelerando o processo de tecelagem.1740 - Benjamin Huntsman, em Handsworth, na Grã-Bretanha, descobre a técnica do uso de cadinho para fabricação de aço.1761 - Abertura do Canal de Bridgewater, na Grã-Bretanha, primeira via aquática inteiramente artificial.1764 - James Hargreaves, na Grã-Bretanha, inventa a fiadora "spinning Jenny", uma máquina de fiar rotativa que permitia a um único artesão fiar oito fios de uma só vez[2].1765 - James Watt, na Grã-Bretanha, introduz o condensador na máquina de Newcomen, componente que aumenta consideravelmente a eficiência do motor a vapor.1768 - Richard Arkwright, na Grã-Bretanha, inventa a "spinning-frame", uma máquina de fiar mais avançada que a "spinning jenny".1771 - Richard Arkwright, em Cromford, Derbyshire, na Grã-Bretanha, introduz o sistema fabril em sua tecelagem ao acionar a sua máquina - agora conhecida como "water-frame" - com a força de torrente de água nas pás de uma roda.1776 - 1779 - John Wilkinson e Abraham Darby, em Ironbridge, Shrobsihire, na Grã-Bretanha, constroem a primeira ponte em ferro fundido.1779 - Samuel Crompton, na Grã-Bretanha, inventa a "spinning mule", combinação da "water frame" com a "spinning jenny", permitindo produzir fios mais finos e resistentes. A mule era capaz de fabricar tanto tecido quanto duzentos trabalhadores, apenas utilizando alguns deles como mão-de-obra.1780 - Edmund Cartwright, de Leicestershire, na Grã-Bretanha, patenteia o primeiro tear a vapor.1793 - Eli Whitney, na Geórgia, Estados Unidos da América, inventa o descaroçador de algodão.1800 - Alessandro Volta, na Itália, inventa a bateria elétrica.
Século XIX1803 - Robert Fulton desenvolveu uma embarcação a vapor na Grã-Bretanha.1807 - A iluminacão de rua, a gás, foi instalada em Pall Mall, Londres, na Grã-Bretanha.1808 - Richard Trevithick expôs a "London Steam Carriage", um modelo de locomotiva a vapor, em Londres, na Grã-Bretanha.1825 - George Stephenson concluiu uma locomotiva a vapor, e inaugura a primeira ferrovia, entre Darlington e Stockton-on-Tees, na Grã-Bretanha.1829 - George Stephenson venceu uma corrida de velocidade com a locomotiva "Rocket", na linha Liverpool - Manchester, na Grã-Bretanha.1830 - A Bélgica e a França iniciaram as respectivas industrializações utilizando como matéria-prima o ferro e como força-motriz o motor a vapor.1843 - Cyrus Hall McCormick patenteou a segadora mecânica, nos Estados Unidos da América.1844 - Samuel Morse inaugurou a primeira linha de telégrafo, de Washington a Baltimore, nos Estados Unidos da América.1856 - Henry Bessemer patenteia um novo processo de produção de aço que aumenta a sua resistência e permite a sua produção em escala verdadeiramente industrial.1865 - O primeiro cabo telegráfico submarino é estendido através do leito do oceano Atlântico, entre a Grã-Bretanha e os Estados Unidos da América.1869 - A abertura do Canal de Suez reduziu a viagem marítima entre a Europa e a Ásia para apenas seis semanas.1876 - Alexander Graham Bell inventou o telefone nos Estados Unidos da América (em 2002 o congresso norte-americano reconheceu postumamente o italiano Antonio Meucci como legítimo invetor do telefone)1877 - Thomas Alva Edison inventou o fonógrafo nos Estados Unidos da América.1879 - A iluminação elétrica foi inaugurada em Mento Park, New Jersey, nos Estados Unidos da América.1885 - Gottlieb Daimler inventou um motor a explosão.1895 - Guglielmo Marconi inventou a radiotelegrafia na Itália.

O motor a vapor


As primeiras máquinas a vapor foram construídas na Inglaterra durante o século XVIII. Retiravam a água acumulada nas minas de ferro e de carvão e fabricavam tecidos. Graças a essas máquinas, a produção de mercadorias aumentou muito. E os lucros dos burgueses donos de fábricas cresceram na mesma proporção. Por isso, os empresários ingleses começaram a investir na instalação de indústrias.
As fábricas se espalharam rapidamente pela Inglaterra e provocaram mudanças tão profundas que os historiadores atuais chamam aquele período de Revolução Industrial. O modo de vida e a mentalidade de milhões de pessoas se transformaram, numa velocidade espantosa. O mundo novo do capitalismo, da cidade, da tecnologia e da mudança incessante triunfou.
As máquinas a vapor bombeavam a água para fora das minas de carvão. Eram tão importantes quanto as máquinas que produziam tecidos.
As carruagens viajavam a 12 km/h e os cavalos, quando se cansavam, tinham de ser trocados durante o percurso. Um trem da época alcançava 45 km/h e podia seguir centenas de quilômetros. Assim, a Revolução Industrial tornou o mundo mais veloz. Como essas máquinas substituiam a força dos cavalos, convencionou-se em medir a potência desses motores em HP (do inglês horse power ou cavalo-força).


A classe trabalhadora


A produção manual que antecede à Revolução Industrial conheceu duas etapas bem definidas, dentro do processo de desenvolvimento do capitalismo:
O artesanato foi a forma de produção industrial característica da Baixa Idade Média, durante o renascimento urbano e comercial, sendo representado por uma produção de caráter familiar, na qual o produtor (artesão) possuía os meios de produção (era o proprietário da oficina e das ferramentas) e trabalhava com a família em sua própria casa, realizando todas as etapas da produção, desde o preparo da matéria-prima, até o acabamento final; ou seja não havia divisão do trabalho ou especialização para a confecção de algum produto. Em algumas situações o artesão tinha junto a si um ajudante, porém não assalariado, pois realizava o mesmo trabalho pagando uma “taxa” pela utilização das ferramentas.
É importante lembrar que nesse período a produção artesanal estava sob controle das corporações de ofício, assim como o comércio também se encontrava sob controle de associações, limitando o desenvolvimento da produção.
A manufatura, que predominou ao longo da Idade Moderna e na Antiguidade Clássica, resultou da ampliação do mercado consumidor com o desenvolvimento do comércio monetário. Nesse momento, já ocorre um aumento na produtividade do trabalho, devido à divisão social da produção, onde cada trabalhador realizava uma etapa na confecção de um único produto. A ampliação do mercado consumidor relaciona-se diretamente ao alargamento do comércio, tanto em direção ao oriente como em direção à América. Outra característica desse período foi a interferência do capitalista no processo produtivo, passando a comprar a matéria-prima e a determinar o ritmo de produção.
A partir da máquina, fala-se numa primeira, numa segunda e até terceira e quarta Revoluções Industriais. Porém, se concebermos a industrialização como um processo, seria mais coerente falar-se num primeiro momento (energia a vapor no século XVIII), num segundo momento (energia elétrica no século XIX) e num terceiro e quarto momentos, representados respectivamente pela energia nuclear e pelo avanço da informática, da robótica e do setor de comunicações ao longo dos séculos XX e XXI (aspectos, porém, ainda discutíveis).
Na esfera social, o principal desdobramento da revolução foi a transformação nas condições de vida nos países industriais em relação aos outros países da época, havendo uma mudança progressiva das necessidades de consumo da população conforme novas mercadorias foram sendo produzidas.
A Revolução Industrial alterou profundamente as condições de vida do trabalhador braçal, provocando inicialmente um intenso deslocamento da população rural para as cidades. Criando enormes concentrações urbanas; a população de Londres cresceu de 800 000 habitantes em 1780 para mais de 5 milhões em 1880, por exemplo. Durante o início da Revolução Industrial, os operários viviam em condições horríveis se comparadas às condições dos trabalhadores do século seguinte. Muitos dos trabalhadores tinham um cortiço como moradia e ficavam submetidos a jornadas de trabalho que chegavam até a 80 horas por semana. O salário era medíocre (em torno de 2.5 vezes o nível de subsistência) e tanto mulheres como crianças também trabalhavam, recebendo um salário ainda menor.
A produção em larga escala e dividida em etapas iria distanciar cada vez mais o trabalhador do produto final, já que cada grupo de trabalhadores passava a dominar apenas uma etapa da produção, mas sua produtividade ficava maior. Como sua produtividade aumentava os salários reais dos trabalhadores ingleses aumentaram em mais de 300% entre 1800 até 1870. Devido ao progresso ocorrido nos primeiros 90 anos de industrialização, em 1860 a jornada de trabalho na Inglaterra já se reduzia para cerca de 50 horas semanais (10 horas diárias em cinco dias de trabalho por semana).
Horas de trabalho por semana para trabalhadores adultos nas indústrias têxteis:
1780 - em torno de 80 horas por semana
1820 - 67 horas por semana
1860 - 53 horas por semana
2007 - 46 horas por semana
Segundo os socialistas, o salário, medido a partir do que é necessário para que o trabalhador sobreviva (deve ser notado de que não existe definição exata para qual seja o "nível mínimo de subsistência"), cresceu à medida que os trabalhadores pressionam os seus patrões para tal, ou seja, se o salário e as condições de vida melhoraram com o tempo, foi graças à organização e aos movimentos organizados pelos trabalhadores, que apesar de terem suas exigências atendidas, continuam a se organizar e protestar por ainda mais reduções da jornada de trabalho em todo o mundo

As consequências da Revolução Industrial


A partir da Revolução Industrial o volume de produção aumentou extraordinariamente: a produção de bens deixou de ser artesanal e passou a ser maquinofaturada; as populações passaram a ter acesso a bens industrializados e deslocaram-se para os centros urbanos em busca de trabalho. As fábricas passaram a concentrar centenas de trabalhadores, que vendiam a sua força de trabalho em troca de um salário.
Outra das consequências da Revolução Industrial foi o rápido crescimento econômico. Antes dela, o progresso econômico era sempre lento (levavam séculos para que a renda per capita aumentasse sensivelmente), e após, a renda per capita e a população começaram a crescer de forma acelerada nunca antes vista na história. Por exemplo, entre 1500 e 1780 a população da Inglaterra aumentou de 3,5 milhões para 8,5, já entre 1780 e 1880 ela saltou para 36 milhões, devido à drástica redução da mortalidade infantil.
A Revolução Industrial alterou completamente a maneira de viver das populações dos países que se industrializaram. As cidades atraíram os camponeses e artesãos, e se tornaram cada vez maiores e mais importantes.
Na Inglaterra, por volta de 1850, pela primeira vez em um grande país, havia mais pessoas vivendo em cidades do que no campo. Nas cidades, as pessoas mais pobres se aglomeravam em subúrbios de casas velhas e desconfortáveis, se comparadas com as habitações dos países industrializados hoje em dia. Mas representavam uma grande melhoria se comparadas as condições de vida dos camponeses, que viviam em choupanas de palha. Conviviam com a falta de água encanada, com os ratos, o esgoto formando riachos nas ruas esburacadas.
O trabalho do operário era muito diferente do trabalho do camponês: tarefas monótonas e repetitivas. A vida na cidade moderna significava mudanças incessantes. A cada instante, surgiam novas máquinas, novos produtos, novos gostos, novas modas.
As doutrinas sociais e econômicas
Essas doutrinas coincidiam em alguns pontos fundamentais: eram contrárias ao liberalismo dos economistas do século XVIII e ao capitalismo, e favoráveis ao restabelecimento da "soberania" do trabalho. Vejamos algumas dessas doutrinas:
Socialismo utópico
Ver artigo principal: Socialismo utópico
O socialismo utópico concebia a organização de uma sociedade de caráter ideal. Contudo, esperava que a realização concreta dessa sociedade se desse através de concessões dos governantes ou dos capitalistas. Seus principais representantes foram Robert Owen (1771-1858, rico industrial inglês, Saint-Simon (1760-1825) e Charles Fourier (1772-1837), ambos franceses.
Socialismo científico
Ver artigo principal: Socialismo científico
O socialismo científico tem por fundamento a interpretação econômica da História e pregava o triunfo final dos trabalhadores através da própria luta do proletariado. Seus representantes foram Karl Marx (1818-1883), advogado alemão de origem judaica, e Friedrich Engels (1820-1895), compatriota e colaborador de Marx. O socialismo científico pode também ser chamado de revolução social do marxismo.
Socialismo cristão
Ver artigo principal: Socialismo cristão
A Igreja, diante dos problemas sociais, sobretudo os da classe operária, preconizou reformas em bases cristãs. Combateu a violência e a revolução social do marxismo. Entre os principais documentos que contêm os princípios da doutrina social da Igreja está a Rerum Novarum, encíclica do papa Leão XIII, prumulgada em 1891. O quadrgésimo ano da Rerum Novarum foi comemorado com a publicação da encíclica Quadragesimo Anno (1931) do papa Pio XI. Do papa João XXIII temos: Pacem in Terris e Mater et Magistra. O papa Paulo VI é o autor de Populorum Progressio e Humanae Vitae, esta última sobre o controle da natalidade.

O sistema capitalista, enquanto forma específica de se ordenar as relações no campo socioeconômico, ganhou suas feições mais claras quando – durante o século XVI – as práticas mercantis se fixaram no mundo europeu. Dotadas de colônias espalhadas pelo mundo, principalmente em solo americano, essas nações acumulavam riquezas com a prática do comércio.

Na especificidade de seu contexto, observaremos que a história britânica contou com uma série de experiências que fez dela o primeiro dos países a transformar as feições do capitalismo mercantilista. Entre tais transformações históricas podemos destacar o vanguardismo de suas políticas liberais, o incentivo ao desenvolvimento da economia burguesa e um conjunto de inovações tecnológicas que colocaram a Inglaterra à frente do processo hoje conhecido como Revolução Industrial.

Com a Revolução Industrial, a qualidade das relações de trabalho no ambiente manufatureiro se transformou sensivelmente. Antes, os artesãos se agrupavam no ambiente da corporação de ofício para produzir os produtos manufaturados. Todos os artesãos dominavam integralmente as etapas do processo de produção de um determinado produto. Dessa forma, o trabalhador era ciente do valor, do tempo gasto e da habilidade requerida na fabricação de certo produto. Ou seja, ele sabia qual o valor do bem por ele produzido.

As inovações tecnológicas oferecidas, principalmente a partir do século XVIII, proporcionaram maior velocidade ao processo de transformações da matéria-prima. Novas máquinas automatizadas, geralmente movidas pela tecnologia do motor a vapor, foram responsáveis por esse tipo de melhoria. No entanto, além de acelerar processos e reduzir custos, as máquinas também transformaram as relações de trabalho no meio fabril. Os trabalhadores passaram por um processo de especialização de sua mão de obra, assim só tinham responsabilidade e domínio sob uma única parte do processo industrial.

Dessa maneira, o trabalhador não tinha mais ciência do valor da riqueza por ele produzida. Ele passou a receber um salário pelo qual era pago para exercer uma determinada função que nem sempre correspondia ao valor daquilo que ele era capaz de produzir. Esse tipo de mudança também só foi possível porque a própria formação de uma classe burguesa – munida de um grande acúmulo de capitais – começou a controlar os meios de produção da economia.

O acesso às matérias-primas, a compra de maquinário e a disponibilidade de terras representavam algumas modalidades desse controle da burguesia industrial sob os meios de produção. Essas condições favoráveis à burguesia também provocou a deflagração de contradições entre eles e os trabalhadores. As más condições de trabalho, os baixos salários e a carência de outros recursos incentivaram o aparecimento das primeiras greves e revoltas operárias que, mais tarde, deram origem aos movimentos sindicais.

Com o passar do tempo, as formas de atuação do capitalismo industrial ganhou outras feições. Na segunda metade do século XIX, a eletricidade, o transporte ferroviário, o telégrafo e o motor a combustão deram início à chamada Segunda Revolução Industrial. A partir daí, os avanços capitalistas ampliaram significativamente o seu raio de ação. Nesse mesmo período, nações asiáticas e africanas se inseriram nesse processo com a deflagração do imperialismo (ou neocolonialismo), capitaneado pelas maiores nações industriais da época.

Durante o século XX, outras novidades trouxeram diferentes aspectos ao capitalismo. O industriário Henry Ford e o engenheiro Frederick Winslow Taylor incentivaram a criação de métodos onde o tempo gasto e a eficiência do processo produtivo fossem cada vez mais aperfeiçoados. Nos últimos anos, alguns estudiosos afirmam que vivemos a Terceira Revolução Industrial. Nela, a rápida integração dos mercados, a informática, a microeletrônica e a tecnologia nuclear seriam suas principais conquistas.

A Revolução Industrial foi responsável por inúmeras mudanças que podem ser avaliadas tanto por suas características negativas, quanto positivas. Alguns dos avanços tecnológicos trazidos por essa experiência trouxeram maior conforto à nossa vida. Por outro lado, a questão ambiental (principalmente no que se refere ao aquecimento global) traz à tona a necessidade de repensarmos o nosso modo de vida e a nossa relação com a natureza. Dessa forma, não podemos fixar o modo de vida urbano e integrado à demanda do mundo industrial como uma maneira, um traço imutável da nossa vida quotidiana.

Movimento oscilatório

Oscilações Livres e Forçadas

Suspendamos uma mola de um suporte metálico. Na extremidade livre inferior da mola vamos suspender uma esfera metálica. A mola alonga-se até a força elástica  contrabalançar a força gravítica , de acordo com a nomenclatura indicada na figura.

Figura 1 Equilíbrio estático Movimento oscilatório	Se deslocarmos a esfera para baixo, afastando-a da sua posição de equilíbrio, e depois a largarmos, veremos que ela fica animada de um movimento para cima e para baixo, em que a esfera se desloca sucessivamente para um lado e para o outro da sua posição de equilíbrio, um movimento oscilatório.
Com o passar do tempo, as oscilações vão diminuindo, isto é, amortecem, até a esfera parar por completo, isto devido à actuação de forças resistentes.

Mais fácil ainda é pormos a oscilar uma esfera pendurada de um fio suspenso de um apoio. Na posição de equilíbrio o fio encontra-se disposto verticalmente, e a força gravítica  que actua na esfera é compensada pela força que o fio exerce na esfera, a tensão do fio, .	Figura 2 Equilíbrio estático (posição de equilíbrio) Movimento oscilatório em torno da posição de equilíbrio
Afastando a esfera desta posição e largando-a de seguida, vemos que ela começa a oscilar da direita para a esquerda, em torno da posição de equilíbrio, enquanto as oscilações não amortecem de vez. O sistema assim descrito é um Pêndulo Gravítico Simples. Em geral dá-se o nome de pêndulo a um corpo suspenso ou preso a um eixo, que pode realizar oscilações sob a acção da força gravítica.

Qual é a característica principal do movimento oscilatório?

É a repetição, ou a quase repetição do movimento!

O pêndulo ao concluir uma oscilação, isto é, ao percorrer a trajectória entre as posições extremas, passando sempre pela posição inicial, volta a fazer este percurso.

Se o movimento se repetir de uma forma exacta, falamos de um movimento periódico.

Assim, oscilações são movimentos que se repetem com exactidão, ou aproximadamente, ao fim de determinados intervalos de tempo.

Estas oscilações são livres pois as forças que actuam entre os constituintes do sistema, Terra + pêndulo, são forças internas. A força responsável pela oscilação, a força gravítica, é constante, não varia em intensidade, direcção ou sentido.

Condições para a existência de oscilações livres

Torna-se cómodo começar por analisar as oscilações de uma esfera ao longo da horizontal, isto é, segundo um eixo 0x, sob a acção da força elástica de uma mola .

Se deslocarmos a esfera da sua posição de equilíbrio, a), para o lado direito, alongamos o comprimento da mola em , b), passando a actuar sobre a esfera a força elástica da mola.

Figura 3

Esta força, segundo a Lei de Hooke, é proporcional à deformação da mola e dirigida da direita para a esquerda. Sob a acção da força elástica da mola a esfera começa a deslocar-se com aceleração dirigida para a esquerda, aumentando o módulo da sua velocidade. A força elástica, durante este processo, diminui pois a deformação diminui. No momento em que a esfera atinge a posição de equilíbrio, a força elástica é nula. Consequentemente, de acordo com a 2ª Lei de Newton, a aceleração da esfera é nula, atingindo nesse instante o módulo da velocidade o seu valor máximo. Não se detendo na posição de equilíbrio, a esfera continua a sua deslocação para a esquerda, devido à sua inércia, acabando a mola por se contrair, c). Em consequência disto, passa agora a actuar na esfera uma força elástica dirigida para a direita, que se lhe opõe ao movimento e trava a esfera. Esta força, e a aceleração resultante, dirigida para a direita, aumenta em intensidade na proporção directa do módulo da elongação  da esfera em relação à posição de equilíbrio. A velocidade diminui em módulo até atingir o valor zero na posição mais à esquerda. Depois disto, a esfera começa a deslocar-se com aceleração dirigida para a direita. Com a diminuição do módulo da elongação  a força , força elástica, diminui a sua intensidade até ser nula, de novo, na posição de equilíbrio. A esfera, no entanto, já conseguiu reunir até ao momento a velocidade necessária para continuar a sua deslocação para a direita, voltando a repetir-se o movimento inicial.

Se não existisse atrito, o movimento da esfera nunca pararia, mas ele existe, em particular a resistência do ar, e o sentido das forças resistentes é sempre contrário ao do movimento, isto é, da velocidade. Por este motivo, o atrito trava a deslocação da esfera, sendo a amplitude das oscilações, afastamento máximo relativamente á posição de equilíbrio, cada vez menor, até que por fim o movimento cessa de todo. Se o atrito for pequeno, o amortecimento das oscilações só se nota após muitas oscilações da esfera, podendo considerarmos desprezável o atrito durante um intervalo de tempo não muito longo.

Pêndulo Gravítico Simples

Analisemos um pêndulo simples. As dimensões da esfera são muito inferiores ao comprimento do fio, podendo então desprezar-se, e consideramos a esfera como uma partícula material.

A deformação do fio, uma vez que é muito pequena, não é tomada em consideração e a massa do fio, sendo desprezável em comparação com a massa da esfera, não é tida em conta.

Figura 4

Afastemos o pêndulo da sua posição de equilíbrio e larguemo-lo. Sobre a esfera actuam a força gravítica , de acordo com a notação da figura, e a tensão do fio , também de acordo com a notação utilizada na figura. Vamos considerar muito pequena a resistência do ar, pelo que a vamos desprezar. Torna-se cómodo decompor a força gravítica em duas componentes, uma segundo a linha de acção do fio, componente normal, , segundo a notação usada na figura, e outra tangencial à trajectória da esfera, , também segundo a mesma notação.

A tensão do fio  e a componente normal da força gravítica  são perpendiculares ao vector velocidade do pêndulo e comunicam-lhe uma aceleração centrípeta.

O vector aceleração é dirigido para o centro do arco de circunferência que descreve a trajectória do pêndulo. O trabalho realizado por estas forças é nulo e, de acordo com a Lei do Trabalho – Energia, estas duas forças não fazem variar o módulo da velocidade do pêndulo, resumindo-se a sua acção em fazer variar a direcção e o sentido da velocidade de um modo contínuo, sendo o vector velocidade sempre tangente à trajectória descrita e, portanto, sempre tangencial ao arco de circunferência.

Sob a acção da componente tangencial da força gravítica  o pêndulo começa a percorrer o arco de circunferência em sentido descendente com velocidade que cresce em módulo e, à medida que se desloca, esta componente da força gravítica dirigida para a posição de equilíbrio diminui em intensidade e, na altura em que o pêndulo passa pela posição de equilíbrio fica igual a zero.

Graças à sua inércia, o pêndulo continua o seu movimento em sentido ascendente. A partir deste momento, a componente tangencial da força gravítica passa a ter sentido contrário ao da velocidade. Assim, o módulo da velocidade do pêndulo diminui e tanto mais rapidamente quanto maior for o ângulo formado pelo fio com a vertical.

Quanto maior for o ângulo, tanto maior será a intensidade desta componente tangencial da força gravítica.

Quando o pêndulo atinge a outra posição extrema é máxima a intensidade da componente tangencial da força gravítica, encontrando-se dirigida para a posição de equilíbrio. Depois, a velocidade do pêndulo aumenta em módulo e ele dirige-se para a posição de equilíbrio. Depois de passar pela posição de equilíbrio, ele só volta a ocupar de novo a posição inicial se a força de atrito do ar for desprezável e o trabalho por ela realizado durante um curto intervalo de tempo puder ser desprezado.

Dinâmica do Movimento Oscilatório

Pêndulo elástico

De acordo com a 2ª Lei de Newton temos que .

Voltemos a recordar o movimento rectilíneo de uma esfera que se desloca ao longo de um eixo horizontal sob a acção da força elástica de uma mola, como mostra a figura 3.

Temos então que  em que  é a constante elástica da mola,  a massa da esfera e  a norma da elongação da mola, isto é, a grandeza que mede o afastamento da esfera relativamente à posição de equilíbrio ao longo do tempo.

A elongação da mola, em qualquer instante de tempo, pode ser determinada através da expressão , em que  é a amplitude do movimento, isto é, o valor máximo da elongação, ou seja, o afastamento máximo da esfera à posição de equilíbrio.

 (1ª derivada)

 (2ª derivada)

Temos então que  e , estando o sinal negativo relacionado com o facto da força elástica, e a aceleração, se oporem sempre ao aumento da elongação e apontarem sempre no sentido da posição de equilíbrio, isto é, têm sentido oposto ao da elongação.

Mas a elongação da mola, em qualquer instante de tempo, também pode ser determinada através da expressão . Derivando duas vezes chegaríamos também à expressão .

Representemos por  a grandeza constante  que depende apenas das propriedades do sistema em causa, .

Assim  é equivalente a ter .

A segunda derivada será igual a , ou seja .

A curva que representa a variação da coordenada de um dado corpo oscilatório em função do tempo, conforme a expressão

 

tem a forma seguinte

Figura 5

Relembrando os conceitos de frequência do movimento e período do mesmo temos que:

Então , isto é, o número de oscilações realizadas pela esfera em cada  segundos e designa-se, como deves lembrar-te, de velocidade angular.

Está assim verificada a veracidade da relação .

Como , temos que , isto é, a expressão que permite calcular o período do movimento oscilatório de uma esfera ligada a uma mola elástica.

Movimento do pêndulo gravítico simples

Enquanto que a esfera realiza oscilações, vai deslocando-se ao longo de um arco de circunferência, cujo raio é igual ao comprimento  do fio, como mostra a figura 4.

Deste modo, a posição da esfera é determinada em cada instante por uma única grandeza, o ângulo  de desvio em relação à vertical.

Consideremos o ângulo  positivo se o pêndulo estiver desviado para a direita da posição de equilíbrio e, negativo, se o desvio for à esquerda da posição de equilíbrio.

A projecção da força gravítica tangente à trajectória do pêndulo é, algebricamente, igual a  , em que o sinal negativo exprime o facto de  e  serem de sinais contrários, isto é, quando o pêndulo se desloca para a direita,  é positivo e  encontra-se dirigida da direita para a esquerda e o seu valor algébrico é negativo. Quando o pêndulo se desloca para a esquerda,  é negativo e encontra-se dirigida da esquerda para a direita e o seu valor algébrico é positivo.

A projecção do vector aceleração do pêndulo, tangente á trajectória, algebricamente falando, e que mede a variação do valor da velocidade do pêndulo é, de acordo com a 2ª Lei de Newton, 

Vamos a considerar apenas ângulos de desvio pequenos tal que,  , no caso do ângulo ser medido em radianos.

Podemos então considerar 

Representando por  o comprimento do arco OA, como mostra a figura 4, podemos escrever  donde .

Substituindo em , temos que .

Não esquecer que a aceleração tangencial é a segunda derivada da posição logo,  e então, .

Esta expressão é semelhante aquela que traduzia a aceleração da esfera presa a uma mola elástica e que foi atrás descrita,  , isto é, .

Em conclusão, aqui a aceleração é proporcional, não à rigidez da mola e à massa da esfera, como na situação anterior, mas sim á aceleração da gravidade e ao comprimento do fio.

No entanto, como anteriormente, a aceleração é directamente proporcional à coordenada angular da esfera em relação à posição de equilíbrio.

Em suma, a aceleração é directamente proporcional à coordenada, linear ou angular.

Tal como  , no caso da esfera presa à mola elástica, também, no caso do pêndulo,  , e o período das oscilações, que era no caso da esfera ligada á mola elástica  , porque  , é aqui para o pêndulo dado por .

Esta fórmula foi obtida e demonstrada experimentalmente por Christian Huygens, cientista holandês contemporâneo de Isaac Newton.

O período das oscilações aumenta com o comprimento do fio do pêndulo, não dependendo da massa do mesmo. Isto pode ser objecto de experimentação com vários tipos de pêndulos.

O facto do período das oscilações depender da aceleração da gravidade local também pode ser comprovado experimentalmente.

Quanto menor for a aceleração da gravidade, mais longo é o período das oscilações do pêndulo e, por conseguinte, menos rápido é o ritmo do movimento.

A dependência entre o período de oscilações do pêndulo e o valor da aceleração da gravidade é aproveitada na prática.

Avaliando o período das oscilações, pode-se determinar com exactidão o valor da aceleração da gravidade.

O movimento harmónico simples pode então definir-se como sendo o movimento em que a aceleração escalar tem, em cada instante, sinal oposto ao da elongação, e módulo proporcional ao módulo da elongação.

O pêndulo elástico e o pêndulo gravítico simples são, para oscilações de muito pequena amplitude e na ausência de forças resistentes, osciladores harmónicos simples e o movimento por eles executado é um movimento harmónico simples.